familiar with / familiar to / familiar about

           Все три варианта имеют право на существование, но значение при этом будет разным.

          familiar with - обозначает "быть хорошо ознакомленным с чем-то", "быть проинформированным о чем-то", после familiar with надо указать, с чем именно ознакомлен человек, о котором идет речь:

              I am familiar with this work. - Я знаком с этой работой. (Я знаю, что и как делать.) 
              I am quite familiar with the process. - Я хорошо ознакомлен с этой работой. 

        familiar to - обозначает "узнаваемый", "известный кому-либо", после familiar to в данной ситуации надо показать, кому именно что-то знакомо: 

              His art work is familiar to millions of people. - Его произведения искусства известны миллионам людей. 

             This man doesn’t look famaliar to me. - Я не узнаю этого человека. 

       familiar about - применяется больше для ситуаций, которые напоминают нам о том, что происходило с нами раньше, или о сходстве с кем-либо или с кем-либо: 

            There was something familiar about that face, yet she was certain she had never met him before. - В его лице было что-то знакомое, однако она была абсолютно уверена, что никогда не встречала этого человека раньше. 

            There's something familiar about the girl. - Эту девушку я, похоже, уже где-то видел. 

          Слово можно употреблять и без предлога вообще. Тогда оно будет переводиться просто как "знакомый": 

            "Hello, Alice", a familiar voice said. - "Привет, Алиса", - сказал знакомый голос. 

careful with/of/about

          Слово careful можно употреблять со всеми этими предлогами, но путать в зависимости от значения предложения их нельзя.

          careful of - обозначает опасаться, побаиваться кого-то:
              You have to be careful of wild animals crossing the road around here. - Тебе нужно остерегаться диких животных, переходя тут дорогу.
              Be careful of him . He is a bad guy. - Остерегайся его. Он - плохой парень. 

          careful with - обозначает осторожно обращаться с кем-то/чем-то, уделить кому-то/чему-то особое внимание. 
              Be careful with the glasses. - Будь осторожен со своими очками. 
              My secretary is so careful with her work that no one has so far found an error in her work. - Мой секретарь уделяет настолько много внимания своей работе, что никто не может найти там ни одной ошибки. 

          careful about - обозначает сконцентрироваться на чем-то, обратить на что-то особое внимание. Тоже может переводиться как "будь осторожен", но с подтекстом "обрати особое внимание": 
            Be careful about what you say to him. - Думай о том, что ты ему говоришь. 
            Be careful about crossing this road because the cars travel very fast. - Будь осторожен, переходя дорогу, так как машины едут очень быстро. 

barber or hairdresser?

          Оба слова переводятся как парикмахер, но обозначают разных представителей парикмахерского искусства.

          barber - услугами этого мастера обычно пользуются мужчины, это парикмахер, специализирующийся на короткий стрижках, он не красит волосы и не делает стильные укладки или вечерние прически.
               I met him at the barber's. 
               I usually go to the barber's once a month.

          hairdresser - мастер, больше пользующийся популярностью у женщин, так как выполняет все виды парикмахерских услуг.
               Sonny has a hairdresser's in Milan.

          Нельзя сказать, что какой-то из мастеров исключительно женский или мужской. Мужчины, предпочитающие стильные прически, обращаются именно к hairdresser.

pair or couple?

             Pair or couple - оба слова могут переводиться как пара, но друг от друга отличаются.

             Pair - пара, обозначает парный предмет, то есть два предмета, которые друг без друга теряют смысл своего существования, обычно это два одинаковых предмета: a pair of socks, a pair of shoes, a pair of boots, a pair of gloves.

             Couple в свою очередь просто обозначает количество. Этим словом обозначаются те предметы, которые не составляют пару как два одинаковые - a couple of days, a couple of minutes.
     
             Couple - также это слово используется для обозначения семейной пары - муж и жена, или просто мужчины и женщины, живущих вместе. 
             We even fight like an old married couple. - Мы даже дрались как старая женатая пара. 

liberty or freedom?

          Оба слова обозначают "свобода", по большому счету являются синонимами, но каждое из них имеет свой лексический оттенок.
 
          freedom - свобода в самом широком смысле слова - свободный выбор во всех сферах жизни - куда пойти, что сказать, что одеть, что делать, что купить, как себя вести...
          Children are allowed much more freedom these days. - Детям сейчас предоставляется слишком много свободы. 
           In college, you have the freedom to do what you want. - В колледже ты можешь делать все, что ты хочешь. 
           People are demanding freedom: freedom from fear, and freedom from want. - Люди требуют свободы:  свободы от страхов и свободы от нужды. 

          liberty - свобода как право, гарантированное нам государством, такая как свобода слова, свобода вероисповедания,
            The United States supports political and economic liberty all over the world. - США  поддерживает политическую и экономическую свободу во всем мире. 
            It plays an important role in the protection of personal liberty and security of persons. - Это играет важную роль в защите личностной свободы и безопасности людей. 
            In a democratic society there is great importance in granting dignity and liberty to each worker. - В демократическом обществе очень важная роль отводится гарантированию достоинства и свободы каждого рабочего. 

            For most citizens liberty means the freedom to ptactise their religious or political beliefs. - Для многих граждан свобода обозначает беспрепятственное выражение своих религиозных и политических взглядов. 
            People are, by nature, meant to live in freedom, and the new government will grant such liberty to its citizens. - Людям по своей природе свойственно жить свободными, и новое правительство гарантирует эту свободу своим гражданам. 

           

responsible for or responsible to?

          В данном случае предлог просто меняет значение слова responsible, хотя фразовым глаголом при этом оно не является.

          responsible for - нести ответственность за какое то действие/бездействие/решение, ... , то есть просто быть ответственным за что-то:
          Government is responsible for the well being of the citizens. - Правительство несет ответственность за благосостояние граждан. 
         A secretary is responsible for documentation. - Секретарь несет ответственность за документацию. 
      
          responsible to - быть у кого-то в подчинении, быть под контролем.
         Linda is responsible to Mr Anderson. He is her boss. - Линда подчиняется мистеру Ардерсону. Он - ее босс.
         The Prime Minister is directly responsible to the President. - Премьер-министр напрямую подчиняется президенту. 

leave or forget?

          Оба эти слова могут переводиться как "забывать", но их употребление однозначно разграничено правилами.

         Сначала мы разберемся со значением - забыть что-то взять с собой.
         Если мы указываем на тот факт, что у нас с собой чего-то нет, потому что мы забыли это что-то взять, то употребляется слово "forget":
         I’ll have to go back; I’ve forgotten my glasses. - Мне нужно вернуться, я забыл очки. 

         Если же мы указываем на то, где именно осталась эта вещь, то в этом случае нам уже нужно слово "leave":
         Nick, you’re always leaving your glasses at home! - Ник, ты всегда оставляешь свои очки дома!

         Еще одна пара примеров для сравнения: 
         I've forgotten my phone. - Я забыл телефон. 
         I left my phone on the table. - Я оставил (забыл) свой телефон на столе. 

        Слово "leave" также употребляется в том случае, если мы решили что-то / кого-то оставить сознательно, или в значении "покинуть", то есть уйти навсегда или на время.
         I decided to leave home and join the circus. - Я решил уйти из дома и присоединиться к цирковой труппе. 
         Dear Brenda, I have decided to leave you. -  Дорогая Бренда, я решил тебя покинуть. 
         We decided to leave  the dog at home. - Мы решили оставить собаку дома. 

         Если мы что-то забыли сделать или забыли о чем-то нематериальном (обиду, например), то правильным будет только слово "forget":
         I'm actually here to forget about business. - Я тут для того, чтобы забыть о делах. 
         I couldn't forget what she did. - Я не могу забыть того, что она сделала. 
         Mother said that she would never forget that morning. - Мама сказала, что она никогда не забудет то утро.